푸리에 변환(Fourier Transform, FT)

우리가 흔히 말하는 푸리에 변환(Fourier Transform, FT)이라고 하면 주파수 분석 하기위해 Time-Domain을 Frequency-Domain으로 변환하는 과정을 말합니다. 그러나 푸리에 변환에서 말하는 주파수란, 우리가 흔히 알고 있는 "초당 몇회 반복되는지"의 개념만 가지고 설명할 수는 없고 확장된 개념으로 공간적인 의미을 내포하고 있다고 보는 것이 더 정확하다고 할 수 있습니다. 그렇기 때문에 오일러 공식을 통해 푸리에 급수의 기본 함수를 삼각함수가 아닌 \(e^{2\pi i\theta }\)로 사용하기도 합니다. (\(z = cosx + isinx\)는 복소 평면에서 단위원을 말함, 아래 이미지에서는 실수에 대해 \(\varphi\)로, 허수 지수를 \(i\varphi\)로 표현)

좀 더 이해를 돕기 위해 이를 삼각함수와의 관계로 표현해자면 아래의 수식처럼 표현이 되고 푸리에 변환에서는 일반적인 함수의 주기를 무한대로 간주하고 접근하기때문에 푸리에 변환 \(X(\xi)\)을 수식으로 표현하였을 때 무한대로 표현한 것을 확인할 수 있습니다.

1) 삼각함수와의 관계

\(\varphi\ = wt\) 대입, 푸리에 급수 참조

2) 푸리에 변환 \(X(\xi)\) 수식

신호 파형 예시

개념은 어느정도 파악되었으니 한번 신호를 FT한 모습을 살펴보면 아래의 이미지처럼 정현파의 주파수 영역이 음의 영역과 양의 영역 두 군데에서 나타나는 것을 알 수 있습니다. 파형의 Amplitude가 음과 양으로 Fluctuation하고 있기 때문에 Frequency-domain에서도 음과 양의 영역에서 FT 결과가 나타나게 되는 것이죠. 일반적인 장비들의 경우 보통 양수만 취급하기에 크게 신경쓰지 않습니다만, 이후 포스팅에서 DFT 및 FFT를 다룰 때 이러한 현상이 나타나니 참고하시면 좋을 듯 합니다.

아래의 참고 이미지를 끝으로 푸리에 변환(Fourier Transform)에 대한 포스팅을 마치도록 하겠습니다.