푸리에 급수(Fourier Series)

보통 신호와 관련된 내용을 찾다보면 "모든 주기 함수는 sin과 cos의 무한 합으로 표현할 수 있다."란 말을 많이 합니다. 이게 바로 푸리에 급수에 대한 내용인데요. 푸리에 급수(Fourier Series)는 주기성을 가지는 신호를 sin 또는 cos으로 표현하는 것을 말합니다. 일정한 속도로 주기적인 특성을 가진 파형을 흔히 정현파(Sinusoidal Signal)라고 부르는데, 이러한 연속적이고 주기적인 특성을 sin과 cos의 조합으로 표현하는 것이죠. 대표적인 정현파로 우리가 알고 있는 ¹사인파, ²삼각파, ³톱니파, ⁴사각파가 있습니다. 예시로 사인파와 코사인파 생성에 대한 이미지를 첨부하오니 참고하시면 좋을듯 하네요.

sin과 cos은 서로 Phase가 90° 차이나는 직교 관계(서로 간섭하지 않는다는 의미)를 이루고있어 이를 응용하여 연속적인 신호(CT 신호)를 수학적으로 표현하는 것이죠. 임의의 주기 함수 f(t)에 대해 표현해보자면 아래의 수식처럼 됩니다.

푸리에 급수 수식을 보면 기본 주파수(\(w_{0}\))의 n배 주파수로 계속해서 더해나가는 형태인데요. sin과 cos 모두 방식은 같으므로 본문에서는 \(y(t)=sin\omega t\)로만 설명을 이어 나가겠습니다. 먼저 사인파의 수학적 표현의 의미를 아는 것이 중요한데요. 표기를 각속도뿐만 아니라 주파수 또는 주기로 표기한 경우도 있기에 어떠한 표현에도 익숙해져있는 것이 좋습니다. 사인파의 경우 아래의 수식처럼 표현이됩니다.

여기에 진폭(A)와 위상차(\(\phi\))를 같이 고려하면 아래의 수식이 최종적으로 나오는 것이죠.

본문에서는 위상차(\(\phi\))를 0으로 두고 설명을 할 것이기에 무시해도 상관없으며 위의 수식을 참고하여 이어서 설명해보겠습니다.

신호 1 : 진폭 2, 주파수 10kHz 사인파

첫 번째로 진폭 2, 주파수 10kHz의 사인파를 Time-Domain과 Fourier Series를 이용한 Frequency-Domain으로 표현해보면 다음과 같은 형태로 나타날 것입니다.

신호 2 : 진폭 4, 주파수 15kHz 사인파

두 번째로 진폭 4, 주파수 15kHz의 사인파를 Time-Domain과 Fourier Series를 이용한 Frequency-Domain으로 표현해보면 다음과 같은 형태로 나타날 것입니다.

신호 1 + 신호 2 : 푸리에 급수(Fourier Series) 표현

신호 1과 신호2가 만났을 때의 Time-Domain과 Frequency-Domain을 살펴보면 다음과 같은 형태의 신호 파형과 주파수가 분석될 것입니다.

위의 테이블에서 Time-Domain을 보시면 주기성을 가지는 CT 임의 파형과 두 신호의 주파수 10kHz, 15kHz에서 주파수 특성이 나타나는 것을 확인하실 수 있습니다. (*CT : Continuous Time) 자 이제 어느정도 감을 잡으셨을 것이라 사료되며, 위의 예시 테이블 내용들을 정리해보자면 Time-domain과 Frequency-domain에서의 CT 신호를 겹쳐보았을 때를 표현해보면 아래의 그래프처럼되는 것입니다.