딥러닝 수학 기초 | 벡터(Vector)
벡터(Vector)
시작점(A)에서 종점(B)으로 향하는 선분을 말하며 쉽게 말해 방향성을 가진 선분이라고 생각하시면 됩니다. 유향 선분(Directed segment)이라고 부르는데 시작점(A)의 위치, 종점(B)에 관한 방향, AB의 길이인 크기 3가지 속성을 뜁니다. 이 중 벡터는 크기와 방향에 대한 양을 표현한 것이라고 할 수 있죠. 보통 화살표선 또는 로마자로 표현합니다.
이를 이용하여 2차원 또는 3차원 좌표 평면에 벡터의 성분을 표시합니다.
벡터의 크기
벡터의 크기는 화살표선의 길이를 말하며 \(\left| \vec{a}\right|\)로 표현합니다. 그리고 좌표 평면에서의 위치 정보를 가지고 크기를 계산할 수 있습니다.
벡터의 내적(Dot Product)
벡터는 '크기와 방향을 갖는 양'이라고 했었던 것처럼 벡터의 곱셈은 '크기와 방향' 모두 고려해야 합니다. 벡터의 내적(Dot Product)은 크기만 고려한 곱셈입니다. 신경망에서의 입·출력은 모두 벡터 형태로 입력과 가중치의 내적을 출력으로 내보냅니다. 따라서 잘 알아두는게 좋을 것 같네요. 두 벡터 \(\vec{a}\), \(\vec{b}\)의 내적은 \(\vec{a}\)·\(\vec{b}\)로 표현하고 두 벡터가 이루는 각을 θ라 할 때 아래의 수식으로 계산할 수 있습니다.
3차원 평면에서의 두 벡터가 직교한다면 θ = 90°로 \(\vec{a}\)·\(\vec{b}\)=0이 됩니다. 그리고 두 벡터 사이 각은 다음 정의에 의해서 구할 수 있습니다.
코시-슈바르츠 부등식
위의 증명을 통해 임의의 cosθ가 가지는 범위는 -1보다 크거나 같고 1보다 작다는 것을 알 수 있는데요. 벡터의 크기 \(\left| \vec{a}\right|\)\(\left| \vec{b}\right|\)를 대입하면 다음 관계가 성립합니다.
두 벡터 간의 ¹θ = 180° (cosθ = -1), ²0°< θ <180° (-1 < cosθ < 1), ³θ = 0°일 때 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 두 벡터가 반대 방향이라면 내적은 최솟값
2. 두 벡터가 평행하지 않다면 내적은 반대 방향일 때와 평행일 때 사이의 중간값
3. 두 벡터가 같은 방향이라면 내적은 최솟값
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